Aislación sonora

Es muy común que escuchen la palabra aislar. Ya sea para evitar que el sonido de una habitación se propage a otras habitaciones. O para no escuchar al vecino, etc.

Pero, ¿qué es?, ¿de qué se trata?. Trataré de explicar en este post con un poco de teoría y gráficos qué es la aislación.

El próposito de la aislación es atenuar el sonido que pasa de una habitación a otra. Por regla general, mientras mas pesada la pared mejor el aislamiento. La habilidad de una pared para atenuar el sonido se especifica con el término de Pérdida de Transmisión (TL por las siglas en inglés) que se define como la diferencia en dB del SPL que hay en la sala emisora (e) y el SPL de la sala receptora (r).

Hay tres regiones que se diferencian con el comportamiento de la pared o panel.

  1. Región I controlada por la rigidez
  2. Región II controlada por la masa
  3. Región III controlada por el efecto coincidente

Al final de este documento hay una tabla con los coeficientes de los materiales mas comunes que nos encontraremos a la hora de construir o calcular lo que en este post se detalla

Región I – Controlada por la rigidez

A bajas frecuencias, la pared se comporta como un todo, y la transmisión del sonido a través de la pared depende principalmente por la rigidez.

Región I

Para conocer el TL en la Región I utilizamos la siguiente ecuación

\[
TL = 20 \ log_{10}(\frac{1}{K_s}) – 10 \ log_{10}(0,23026 \ TL_n)
\]

Donde TLn

\[ TL_n = 10 \ log_{10}(1 + K_S^{-2})\]

Donde Ks

\[ K_s = 4 \pi \ f \rho_o \ c \ C_s \]

Donde Cs

\[ C_s = \frac{768(1 – \sigma ^{2})}{\pi ^{8} Eh^{3}(1/a^{2} + 1/b^{2})^{2}}\]

Donde a y b es el ancho y alto del panel, h es el espesor, E es la elasticidad de Young y σ es el ratio de Poisson.

Frecuencia de Resonancia

A medida que la frecuencia de incidencia aumenta, la pared empezará a resonar a una serie de frecuencias, llamadas frecuencias de resonancias. La frecuencia mas baja marca la transición entre la Región I y la Región II.

La frecuencia de resonancia mas baja es la que marca la transición entre la Región I y la Región II

\[ f_{mn} = \bigg(\frac{\pi}{4 \sqrt{3}}\bigg) c_L h \bigg[ \bigg(\frac{m}{a}\bigg)^{2} + \bigg(\frac{n}{b}\bigg)^{2}\bigg] \]

Los factores m y n son enteros (1, 2, 3…) y la cantidad cL es la velocidad longitudinal de la onda y se calcula

\[ c_L = \bigg[ \frac{E}{\rho_w(1-\sigma^{2})} \bigg]^{1/2} \]

ρw es la densidad volumétrica del material, E es la elasticidad de Young y σ es el ratio de Poisson. Como se explicaba arriba, la frecuencia de resonancia que marca la transición entre las Regiones es la frecuencia de resonancia mas baja y se denomina frecuencia fundamental y corresponde cuando m,n = 1. Si reemplazamos estos valores en la fórmula de frecuencia de resonancia nos queda

\[ f_{1,1} = \bigg(\frac{\pi}{4 \sqrt{3}}\bigg) c_L h \bigg[ \bigg(\frac{1}{a}\bigg)^{2} + \bigg(\frac{1}{b}\bigg)^{2}\bigg] \]

Región II – Controlada por la masa

Para frecuencias mas altas que la primera frecuencia de resonancia, la pérdida de transmisión es controlada por la masa del panel y es independiente de la rigidez del mismo.

El coeficiente de transmisión de la potencia sonora para una incidencia normal esta dado por la siguiente ecuación

\[ \frac{1}{a_{tn}} = 1 + \bigg(\frac{\pi f M_s}{\rho_0 c_0}\bigg)^{2} \]

Ms es la densidad superficial y se calcula multiplicando ρw (densidad volumétrica) y h (espesor de la pared) => Ms = ρw h.

ρ0 y c0 es la densidad y la velocidad del aire, respectivamente.

Entonces el TL para una incidencia normal está relacionada con el coeficiente de transmisión de la potencia sonora y está dado por

\[ TL_n = 10 \ log_{10} (1/a_{tn}) \]

Para una incidencia difusa se encontro experimentalmente que el TL en esta región esta relacionada con el TLn y se calcula con la siguiente expresión

\[ TL = TL_n – 5 \]

En el gráfico anterior se muestra la pendiente característica de esta región. Aumenta 6dB al duplicar la frecuencia. Lo que lleva a la definición de la Ley de Masa

Ley de Masa

Básicamente lo que dice esta ley, es que cuando se duplica la masa la aislación aumenta 6dB. Si la masa disminuye el doble, la aislación disminuye 6dB. Para una misma masa, cuando se aumenta la frecuencia, la aislación aumenta 6dB, y lo mismo ocurre cuando decrece la frecuencia.

Masa: En física, la densidad de área , o densidad por unidad de superficie , se representa por σ, se refiere a la cantidad de masa que posee un material por unidad de área.

\[ \sigma = \frac{m}{A} \]

Por ejemplo, un ladrillo maciso tiene un densidad superficial de 270 Kg/m2.

Frecuencia crítica

A medida que la frecuencia aumenta dentro de esta región, la longitud de onda del material se mueve al «ritmo» de la frecuencia incidente y ocurre un efecto que se llama efecto de coincidencia (longitud de ondas iguales). Primero ocurre a un ángulo de 90°. Cuando esta condición se cumple, la onda incidente y la onda vibratoria del panel se suman, resultando en una caída abrupta de la aislación. Este punto es la transición de la Región II a la Región III.

La frecuencia crítica es la transición entre la Región II y la Región III

Esto es lo que se llama frecuencia crítica y se calcula

\[ f_c = \frac{\sqrt{3}c^{2}}{\pi c_L h} \]

Si combinamos la densidad superficial y la expresión anterior encontramos que el producto Msfc es una función la propiedad física del panel y de la velocidad del sonido (c)

\[ M_Sf_c = \frac{\sqrt{3} c^{2} \rho_w}{\pi c_L} \]

Región III – Controlada por la frecuencia (damping)

Para todas las frecuencia que esten por arriba de la frecuencia crítica, el TL depende fuertemente de la frecuencia de la onda de incidencia y de las pérdidas internas del material de la pared.

Para las ondas sonoras que golpean a la pared en todas las direcciones (incidencia difusa) y que son mayores a la frecuencia crítica, la siguiente formulación empirica se aplica para el cálculo del TL

\[ TL = TL_n(f_c) + 10log_{10}(\eta) + 33,22log_{10}(f/f_c)-5,7 \]

Donde TLn(fc) es el TL calculado con una incidencia normal a la frecuencia crítica

\[ TL_n(f_c) = 10log_{10} \bigg[ 1 + \bigg( \frac{\pi M_s f_c}{\rho_0 c_0} \bigg)^{2} \bigg] \]

El término η es el coeficiente de damping del material de la pared.

El TL en esta región es proporcional a 33,22log10(f). Si la frecuencia de duplica vemos que el TL se incrementa en 33,22log10(2) = 10dB/octava

Ejemplo

Una puerta de madera tiene dimensiones de 0,9 m de anho, 1.8 m de alto y 35 mm de espesor. Se desea calcula el TL para las siguientes frecuencias: (a) 63 Hz, (b) 250 Hz y (c) 2000 Hz

Se tienen las siguientes propiedades de acuerdo a la tabla del apéndice

c (velocidad del sonido) = 344 m/s

ρ (densidad del aire) = 1.196 Kg/m3

cL (velocidad de onda longitudinal) = 3.860 m/s

ρw (densidad) = 770 Kg/m3

MSfc (frecuencia crítica del material) = (11.900 Hz-Kg/m2) * (344/346,1)2 = 11.756 Hz-Kg/m2 (para los fines prácticos del ejemplo decido bajar a 11.700 Hz-Kg/m2)

η (factor pérdida internal del material) = 0,008

E (elasticidad Young) = 11,2 GPa

σ (ratio de Poisson) = 0,15

Primero calculamos la primera frecuencia de resonancia

\[ f_{1,1} = \bigg(\frac{\pi}{4 \sqrt{3}}\bigg) (3860)(0,035) \bigg[ \bigg(\frac{1}{0,90}\bigg)^{2} + \bigg(\frac{1}{1,80}\bigg)^{2}\bigg] = 94,5 Hz \]

La masa específica es:

\[ M_S = \rho_w h = (770)(0,035) = 26,95 Kg/m^2 \]

La frecuencia crítica o frecuencia de coincidencia se puede encontrar con el ratio:

\[ F_c = \frac{M_S f_c}{M_S} = \frac{11700}{26,95} = 434,1 Hz \]

(a) Para f = 63 Hz

La frecuencia 63 Hz < 94,5 Hz (f1,1) por lo tanto corresponde a la Región I. Para calcular el TL correspondiente primero calculamos Cs

\[ C_s = \frac{(768)(1-0,15^2)}{(\pi^2)(11,2)(10^9)(0,0035)^3[(1/0,90)^2 + (1/1,80)^2]^2} = (70,81)(10^{-9}) \ m^3/N \]

El valor del parámetro Ks se calcula a continuación

\[ K_s = 4 \pi f \rho_0 c_0 C_s = (4\pi) (63) (344) (1196) (70,81)(10^{-9}) = 0,02317 \]

El coeficiente de la transmisión sonora puede ser calculada de la siguiente forma

\[ a_t = K_S^2 \ ln (1+ K_S^{-2} = (0,02317)^2 \ ln[1 + (0,02317)^{-2}] = 0,004042 \]

El TL para la frecuencia 64 Hz se calcula entonces

\[ TL = 10 \ log_{10}(1/0,004042) = 23,9 dB \]

(b) para 250 Hz

Para este caso f1,1 = 94,5 Hz < 250 Hz < 434,1 Hz (fc) por lo tanto esta frecuencia está en la Región II. Primero calculamos el coeficiente de transmisión para una incidencia normal.

\[ \frac{1}{a_{tn}} = 1 + \bigg(\frac{\pi f M_S}{\rho_0 c_0} \bigg)^2 = 1 + \bigg[ \frac{(\pi)(250)(26,95)}{(1196)(344)} \bigg] = 2623,8 \]

El TLn se puede calcular de la siguiente manera

\[ TL_n = 10 \ log_{10}(1/a_{tn}) = 10 \ log_{10}(2623,8) = 34,2 dB \]

Ya con este dato del TL para una incidencia normal calculamos

\[ TL = 34,2 – 5 = 29,2 dB \]

(c) para la frecuencia 2000 Hz

Al ser esta frecuencia mayor a la frecuencia crítica f = 2000 Hz > 434,1 Hz, en este caso recae en la Región III y el TL se calcula de la siguiente forma. Primero calculamos para la incidencia normal

\[ TL_n(f_c) = 10 \ log{10} \left( 1 + \left[ \frac{(\pi)(11700)}{411,4} \right]^2 \right) = 39 dB \]

Entonces el TL para la frecuencia de 2000 Hz se calcula

\[ TL = 39 + 10 \ log_{10}(0,008) + 33,22 \ log_{10}(2000/434,1) – 5,7 = 34,3 dB \]

Método aproximado para estimar el TL

En diseños preliminares, es necesario realizar una estimación de la pérdida. Veremos un método rápido para realizar la curva de TL para las Regiones II y III. Si las dimensiones a y b son por lo menos 20 veces mas grandes que el espesor h, la primera resonancia del panel usualmente es menor a los 125 Hz, por lo que la mayor porción de ésta pérdida estará dada en las Regiones II y III.

En la Región II, controladad por la masa, el TL para una incidencia aleatoria está dada por

\[ TL = TL_n -5 = 10 \ log_{10} \bigg[ 1 + \bigg( \frac{\pi M_S f}{\rho_0 c_0} \bigg) ^2 \bigg] – 5 \]

Para frecuencia por encima de los 60 Hz, el término (πMSf/ρ0c0) es usualmente mayor a 1, por lo tanto la ecuación puede reescribirse de la siguiente manera

\[ TL = 10 \ log_{10} \bigg[ \frac{\pi M_S f}{\rho_0 c_0} \bigg] ^2 -5 \]

Igualmente la anterior ecuación y para fines mas simplisticos, se puede reescribir de la siguiente manera

\[ TL = 20 \ log_{10}(M_S) + 20 \ log_{10}(f) – 20 \ log _{10}(\rho_0c_0/\pi) – 5 \]

Tanto c0 como ρ0 se pueden escribir como valores constantes de 344 m/s y 1196 Kg/m3 respectivamente, por lo que se puede reemplazar la anterior fórmula como constantes, quedando como ecuación final

\[ 20 \ log_{10}(1196*344/\pi) = 42,3 dB \]

Entonces para frecuencias por debajo de la Región II, el TL se puede calcular aproximadamente mediante la siguiente ecuación

\[ TL = 20 \ log_{10}(M_S) + 20 \ log_{10}(f) -47,3 \]

Este método aproximado reemplaza la transición con «pico y valles» entre la Región II y la Región III, por una línea recta o «meseta» como se muesta en la siguiente imagen

El alto de la meseta (TLp) y el ancho (▲fP) dependen del material. Algunos valores se muestran a continuación

MaterialTLp, dB▲fp = f2 - f1, octavasf2/f1
Aluminio293,511
Ladrillo372,24,5
Concreto382,24,5
Vidrio273,310
Lidrillo hueco cerámico302,76,5
Ladrillo hueco3238
Acero403,511

En la Región III la curva de TL es a razón de 10db/octava. Aunque es mejor, siendo conservadores, que para las dos primeras octavas se dibuje la línea a razón de 10dB/octava. El resto de la curva se debería dibujar a razón de 6dB/octava.

Apéndice

Valores de materiales comunes

MaterialCL (m/s)pw (Kg/m3)MsFc (Hz-kh/m2)nE (GPa)o
Aluminio5.4202.80034.0900,00173,10,33
Ladrillo3.8001.80031.2500,015250,20
Concreto2.9602.40050.2000,02020,70,13
Vidrio5.4502.50030.3000,0013710,21
Yeso6.7906506.3200,01829,50,13
Ladrillo hueco3.1201.10023.3000,00710,60,10
Madera (roble)3.86077011.9000,00811,20,15
Madera (pino)4.6806408.1600,02013,70,15

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